質問コーナー_1 - higashi

　メールで質問が送られて来ました。多くの人が疑問に思う事なのでこちらで取り上げさせていただきます。

【質問】

①サクシードp61 問431

解答
lim x→0, (axsinx+b)/(cos-1)=１...※が成り立つとき、

lim x→0, (cosx-1)=0 ...☆ であるから、

lim x→0, (axsinx+b)=0 ...★

と、あります。
分母の極限☆が0になるのに、計算ができるのはなぜですか？
また、その後分子の極限★が0と決定できる理由もわかりません。

よろしくお願いします。

【解答】

①極限を求めるときに

　 $\begin{align*} \frac{\infty}{\infty} , \infty -\infty,\frac{0}{0} \end{align*}$ 　の形になるものを不定形といい、このままでは極限値は求められません。サクシードp58下重要事項参照。

x→０のとき分母はcos x -1→０であるから、極限値が有限の値（この場合は1）になるためには、分子はax sin x +b →0 でなければなりません。（→0でなければ極限は有限の値になりません。）

ピッタリ同じじゃないけれど教科書p128例題7(1)の様にそのままだと分母→０になるけれど分子も→０になるので、分母分子を因数分解して約分して0/0にならないようにして極限が求められます。

解答はもっと丁寧にかくと

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}(ax\sin x +b)=\lim_{x\rightarrow 0}\Big(\frac{ax\sin x +b}{\cos x-1}\times (\cos x-1)\Big)\\ =1\times 0=0 \end{align*}$

となります。