質問コーナー_4 - higashi

質問がありました。

サクシードp64問445(4)

$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}\ (a>0) \end{align*}$

【質問】

1/x=tとすると、ｘ→0のときt→∞

(与式)=lim t→∞, 1/(1+a^t)

①0＜a＜1のとき
lim t→∞, 1/(1+a^t)=１

②a=１のとき
lim t→∞, 1/(1+a^t)=１/2

③1＜aのとき
lim t→∞, 1/(1+a^t)=0

①～③より、
limｘ→0, 1/(1+a^t)は、

0＜a＜1のとき 1
a=１のとき 1/2
1＜aのとき 0

と誤答しました。
解説を見ると①と③のときに左右の極限を考える必要があり、その結果①と③の場合は極限がないのですが、この左右の極限の求め方が分かりません。
解説にグラフがないということは、計算だけで求められるのですか？
また、今回の場合上記のようにtで置き換えていいのでしょうか？

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【解説】

まず、一番内側の　 $\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \end{align*}$ から考えていきましょう。

これは　 $\begin{align*} y=\frac{1}{x} \end{align*}$ 　のグラフが

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となりますから

$\begin{align*} \lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=-\infty \end{align*}$ 　， $\begin{align*} \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=+\infty \end{align*}$

なので「1/x=tとすると、ｘ→0のときt→∞」ではありません。

( i ) $\begin{align*} 0<a<1 \end{align*}$ のとき

$\begin{align*} y=a^t \end{align*}$ のグラフ

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$\begin{align*} \lim_{x \to -0}a^\frac{1}{x}=\lim_{t \to -\infty}a^t=+\infty \end{align*}$ 　,　 $\begin{align*} \lim_{x \to +0}a^\frac{1}{x}=\lim_{t \to \infty}a^t=0 \end{align*}$

したがって

$\begin{align*} \lim_{x \to -0}\frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=0 \end{align*}$ 　,　 $\begin{align*} \lim_{x \to +0}\frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=1 \end{align*}$

よって極限はない。

( ii ) $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ のとき

$\begin{align*} \lim_{x \to 0}a^{\frac{1}{x}}=1 \end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=\frac{1}{2} \end{align*}$

(iii) $\begin{align*} 1<a \end{align*}$ のとき

$\begin{align*} y=a^t \end{align*}$ のグラフ

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$\begin{align*} \lim_{x \to -0}a^\frac{1}{x}=\lim_{t \to -\infty}a^t=0 \end{align*}$ , 　 $\begin{align*} \lim_{x \to +0}a^\frac{1}{x}=\lim_{t \to \infty}a^t=+\infty \end{align*}$

したがって

$\begin{align*} \lim_{x \to -0}\frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=1 \end{align*}$ 　,　 $\begin{align*} \lim_{x \to +0}\frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=0 \end{align*}$