質問コーナー_7 - higashi

2円の交点を通る図形

Focus Gold（ⅡB） p.184 例題102のFocusの部分で、
k=-1のとき2つの交点を通る直線を表すことはわかるのですが、k≠-1のときなぜ２つの交点を通る円を表すことができるのかわかりません。

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【解説】

　具体的な例で見てみましょう。数学Ⅱの教科書を参照して下さい。

2つの円　 $\begin{align*} x^2+y^2=5,\ x^2+y^2-6x-2y+5=0 \end{align*}$ 　の共有点の座標はp.98「応用例題5」のように連立すれば求められます。

　では $\begin{align*} k(x^2+y^2-5)+(x^2+y^2-6x-2y+5)=0 \end{align*}$ 　‥‥①　という式は何を表しているのか？

展開して整理すると

$\begin{align*} (k+1)x^2+(k+1)y^2-6x-2y+5-5k=0 \end{align*}$ 　‥‥②

$\begin{align*} k=-1 \end{align*}$ のとき

　直線　 $\begin{align*} 3x+y-5=0 \end{align*}$

$\begin{align*} k\neq -1 \end{align*}$ のとき

②を $\begin{align*} k+1 \end{align*}$ で割って変形すると

$\begin{align*} {{{\left( x-\frac{3}{k+1}\right) }^{2}}+{\left( y-\frac{1}{k+1}\right) }^{2}}=\frac{5 \left( {{k}^{2}}+1\right) }{{{\left( k+1\right) }^{2}}}\mbox{} \] \end{align*}$

となり

中心 $\begin{align*} \left(\frac{3}{k+1}\ ,\ \frac{1}{k+1}\right) \end{align*}$ 　半径 $\begin{align*} \frac{\sqrt{5(k^2+1)}}{|k+1|} \end{align*}$ の円を表しています。